Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x²-4x+m与x轴交于A，B两点，

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x²-4x+m与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，且OB=OC
求该抛物线的解析式及点B的坐标

Answer 1

抛物线y=x²-4x+m与x轴交于A，B两点
那么 方程 x²-4x+m=0 有二个不相等的实数根，从而
16-4m>0
这两个根分别是 x1=2-√(4-m) x2=2+√(4-m)
于是A，B的坐标分别为A( 2-√(4-m)，0） B(2+√(4-m)，0）
抛物线与y轴的负半轴交于点C，且OB=OC
则，m<0 且 -m=2+√(4-m)
m²+4m+4=4-m
m²+5m=0
m=0 或 m=-5
因为m<0,所以取 m=-5
则 抛物线的解析式是
y=x²-4x-5
B(5,0)

追问

P是线段OB上的一点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线交于D点，直线BC能否把△PBD分成面积之比为2：3的两部分？如能，请求出点P的坐标；如不能，请说明理由

Answer 2

设A(x1,0)，B(x2,0)，C(0,y3)
与x轴相交，y=x^2-4x+m=0，解得x1=2-√(4-m)，x2=2+√(4-m)
与y轴负半轴相交，y(0)=m<0，y3=m
OB=OC，∴|m|=|x2|，即-m=2+√(4-m)
解得m=-5 (m=0舍弃) x2=2+3=5
∴抛物线解析式为y=x^2-4x-5，点B的坐标为(5,0)