Question

已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°。O是AB的中点，圆O与AC，BC分别相切于点D与点E。

比较通俗地已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°。O是AB的中点，圆O与AC，BC分别相切于点D与点E。点F是圆O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G。则CG=？

Answer 1

解：
连接OD，则OD⊥AC
∵∠C=90°
∴OD // BC
∴∠ODF=∠G
又OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFG=∠G
∴BG=BF
由切割线定理知BE^2=BF*BA=BF*√2BC
即3^2=BF*6√2
∴BF=3/4*√2
即BG=3/4*√2
∴CG=CB+BG=6+3/4*√2=（24+3√2）/4

Answer 2

解：连接OD，OE。设AB与圆O与AB的另一个交点为G，连接DG
∵已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
∵圆O与AC，BC分别相切于点D与点E
∴OD⊥AC,OE⊥BC
从而四边形ODCE是矩形
又OD=OE，OD=DC
∴四边形ODCE是正方形
在直角三角形ADO中，∠A=45度
∴AD=OD=DC=AC/2=6/2=3 ①
又AC是圆O的切线
∴∠ADF=∠DGA ②
又对顶角∠ADF=∠GDC ③
由②③得∠DGA=∠GDC
∴直角三角形GDC与直角三角形DGF相似
从而 GC/CD=DF/DG ④
由①得，DC=3
又 ∠DOF=90度-∠A=90度-45度=45度
DF^2=OD^2+OF^2-2*OD*OF*SIN(∠DOF)
=3^2+3^2-2*3*3*SIN(45度)
=18-9√2 （√表示平方根）
∴DF=3(√(2-√2))
又DG^2=FG^2-DF^2
=(2*OD)^2-DF^2
=4*3^2-18+9√2
=18+9√2
∴DG=3(√(2+√2))
由④得，CG=DF*CD/DG
=3(√(2-√2))*3/ 3(√(2+√2))
=(√(2-√2))*3/ (√(2+√2))
=3*(2-√2)/√(4-2)
=3*(2-√2)/√2
=3*√2(√2-1)/√2
=3*(√2-1)

追问

比较通俗地

追答

很通俗了

追问

这个我看了 中间看不懂啊 ！！！！！！ ∴∠ADF=∠DGA ②
又对顶角∠ADF=∠GDC ③
由②③得∠DGA=∠GDC
∴直角三角形GDC与直角三角形DGF相似
从而 GC/CD=DF/DG ④

Answer 3

连接OD，则OD⊥AC
∵∠C=90°
∴OD // BC
∴∠ODF=∠G
又OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFG=∠G
∴BG=BF
由切割线定理知BE^2=BF*BA=BF*√2BC
即3^2=BF*6√2
∴BF=3/4*√2
即BG=3/4*√2
∴CG=CB+BG=6+3/4*√2=（24+3√2）/4 愿采纳、3Q

Answer 4

有对称性可得到BF=6√2-6，连接DO，可得△BFG是等腰三角形，BG=BF,,所以AG就可以知道了