Question

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆e:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点（√3,1/2）

求椭圆E的标准方程
2.设椭圆E的左右顶点分别为A1、A2，上顶点为B。圆C与线段OA2为直径的圆关于直线A1B对称
求圆C的标准方程
设点P是圆C上的动点，求三角形PA1B的面积最大值

Answer 1

解：1.由题意知椭圆的焦点在x轴上，且离心率e=c/a=√3/2
令c=√3k,a=2k,k>0,则b=k
所以椭圆方程可化为：x²/4b² +y²/b²=1即x²+4y²=4b²
又椭圆过点（√3,1/2），将此点坐标代入方程可得：
3+1=4b²
解得b²＝1，则a²＝4
所以椭圆E的标准方程为：x²/4 +y²=1

2.由上易知a=2,b=1
则椭圆E的左顶点坐标为A1(－2，0)，右顶点坐标为A2(2,0)，上顶点坐标为B(0,1)
易知以线段OA2为直径的圆的圆心坐标为(1,0)，半径r=1
而直线A1B的方程为x/(-2) +y/1=1即x-2y+2=0 (注：直线的截距式方程)
又圆C与上述圆关于直线A1B：x-2y+2=0对称
所以两个圆的圆心也关于直线A1B：x-2y+2=0对称，且圆C的半径r=1
以下求圆C的圆心坐标（m，n）
有[n/(m-1)]*(1/2)=-1且(m+1)/2 -2*(n/2)+2=0
则n=-2m+2且m-2n+5=0
解得m=-1/5,n=12/5
所以圆C的方程为(x+1/5)²+(y-12/5)²=1

3.由题意设点P坐标为 ( -1/5 +cost，12/5 +sint ) t∈[0,2π)
由上知A1(－2，0)，B(0,1)，则| A1B |=√5
又直线A1B的方程为x-2y+2=0
则点P到直线A1B的距离为：
d＝| -1/5 +cost-24/5 -2sint |/√5
＝| 5+2sint-cost |/√5
＝| 5+√5*[(2/√5)sint -(1/√5)cost] | /√5
令cosβ=2/√5，sinβ=1/√5
则d＝| 5+√5*(cosβsint -sinβcost) | /√5
=| 5+√5*sin(t -β) | /√5
所以当sin(t -β)=1时，d有最大值为(5+√5)/√5＝√5 +1
因为三角形PA1B的面积S=1/2 *|A1B|*d
所以S最大值=1/2 *√5*(√5 +1)=(5+√5)/2