Question

如图所示，在△ABC中,点E在AC上,点N在BC上,在AB上找一个点F,使△ENF的周长最小,试说明理由。

Answer 1

1.作点N关于AB的对称点N'
2.连结N'E,交AB于点F
点F即为所求
证明：
连结FN,
∵N、N'关于AB对称，
∴NF=N'F
在边AB上任找一点F',连结NF'、N'F'
三角形ENF的周长等于NE+EF+FN
三角形ENF'的周长等于NE+EF’+F'N
在三角形N'F'E中，N'F'+F'E大于N'E
而N'E=N'F+FE,N'F=NF,N'F'=NF'
∴三角形ENF的周长小于三角形NEF'的周长

Answer 2

E关于AB的对称点E',连NE'交AB于M
F=M时，周长最小为NE'+EN

当F在其他任意一点P时，
PE+PN=PE'+PN > NE'

Answer 3

解：
作N关于AB的对称点G,连接EG交AB于M
当F=M时，△ENF周长最小为EN+EG
当F在AB上其他任意一处时，EF+FG>EG=EM+MN(两点之间线段最短)

Answer 4

从N做AB垂线交AB于P。延长NP到Q，使PQ=PN
连接EQ，交AB于F。就是需要找的点
理由是PN=PQ，∠NPF=∠QPF=90，PF=PF
△NPF≌△QPF，NF=QF
△ENF的周长最小，只要NF+EF最小，也就是QF+EF最小。
由于两点之间线段最短，所以连接EQ时，QF+EF最小

Answer 5

从N做AB垂线交AB于P。延长NP到Q，使PQ=PN
连接EQ，交AB于F。就是需要找的点
理由是PN=PQ，∠NPF=∠QPF=90，PF=PF
△NPF≌△QPF，NF=QF
△ENF的周长最小，只要NF+EF最小，也就是QF+EF最小。
由于两点之间线段最短，所以连接EQ时，QF+EF最小