Question

求函数y=x+a/x(a>0)的单调区间

Answer 1

设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-x2+a/x2
=(x1-x2)+(x2a-x1a)/x1x2
=(x1-x2)+[(x2-x1)a]/x1x2
=(x1-x2)[1-a/x1x2]
=(x1-x2)[(x1x2-a)/x1x2]
因为a>0
若x1x2∈(0,根号a],则x1x2<a 所以f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在(0,根号a]上是减函数
若x1x2∈(根号a,+∞)，则x1x2>a 所以f(x1)<f(x2)
所以，f(x)在［根号a,+∞)上是增函数
同理可证，f(x)在［－根号a，0)上是减函数
在(－∞，－根号a]上是增函数
所以函数f(x)的单调增区间是(－∞，－根号a]与［根号a,+∞)
单调减区间是［－根号a，0)与(0,根号a]