Question

在三角形ABC中,AD平分角BAC或角BAC外角,交BC边所在的直线交于点D,过点C作CM垂直于AD,垂足为点M，已知AB=AD

在三角形ABC中,AD平分角BAC或角BAC外角,交BC边所在的直线交于点D,过点C作CM垂直于AD,垂足为点M，已知AB=AD。
（1、）当AD平分角BAC时，（如图一），求证AC-AB=2DM；
（2、）当AD平分角BAC的外角时，（如图二），试着猜想线段AC,AB,AM之间的数量关系，并加以证明。
（3、）当AD平分角BAC的外角时，（如图三），试着猜想线段AC,AB,AM之间的数量关系，并加以证明。

解答的过程一定要详细，尤其是辅助线的做法。 很急.....

Answer 1

(1)证明:延长CM,交AB的延长线于E.
∠AME=∠AMC=90度;AM=AM;∠EAM=∠CAM.则⊿EAM≌ΔCAM,得EM=CM;AE=AC.
过点E作DM的平行线,交CB的延长线于N,则⊿CDM∽⊿CNE,EN/DM=EC/CM=2,即EN=2DM.
且∠N=∠ADB;又AB=AD,则∠ADB=∠ABD=∠EBN.故∠N=∠EBN,得EN=EB.
故:AC-AB=AE-AB=EB=EN=2DM.
(2)AB+AC=2DM.
证明:延长CM,交BA的延长线于E,同理可证:⊿EAM≌ΔCAM,EM=CM;AE=AC.
过点E作DM的平行线,交BD的延长线于N,则⊿CDM∽⊿CNE,EN/DM=EC/CM=2,即EN=2DM.
AB=AD,则∠B=∠ADB;故:∠N=∠ADB=∠B,得EN=EB.
所以,AB+AC=AB+AE=EB=EN=2DM.
(3)AB+AC=2DM.
证明:延长BA,交CM的延长线于E,则∠CAM=∠DAP;∠EAM=∠DAB.
又∠DAB=∠DAP,故∠CAM=∠EAM.
又AM=AM,∠AMC=∠AME=90度.则⊿CAM≌ΔEAM,得AE=AC;AM=CM,EC=2CM.
过点E作MD的平行线,交CD的延长线于N,则∠N=∠ADB;
AB=AD,则∠ADB=∠ABD.故∠N=∠ABD,得:EN=EB.
⊿ENC∽⊿MDC,则EN/DM=EC/CM=2,EN=2DM.
所以,AB+AC=AB+AE=EB=EN=2DM.

Answer 2

前一个图一个样，后两个图一个样，请按描述添加辅助线。
延长CM交AB或其延长线于E，过E点做AC（第一个图为BC）平行线交AM延长线于N点。
1)CM与AD垂直和AD平分角A得到AE=AC，且EM=CM。
又因为EN平行BC，得到三角形CDM和ENM全等，所以DM=MN。
而EN平行BC，AD=AB，所以AE=AN，得到AC=AN。
AC-AB=AN-AD=DM+MN=2DM
2）连结CN，与1中同样方法可得到AM=MN，CN=AE=AC且CN平行AB，
此时得到三角形CND和 BAD相似，由此得到CN=ND
此时AB-AC=AD-ND=AN=2AM
3）连结CN，与1中同样方法可得到AM=MN，CA=AE=CN，且CN平行AB，
此时得到三角形CND和BAD相似，由此得到CN=ND
此时AC-AB=ND-AD=AN=2AM

Answer 3

高中的 还是初中的