Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AE、BF相交于点G，连接GD，求证：

1、AE=BF，AE⊥BF；
2、AD=GD

Answer 1

1、证明：在RT△ABE和RT△BCF中

因为：AB=BC，BE=CF

所以：这两个直角三角形全等

所以：AE=BF，  ∠BEG=∠BFC

在△BEG和△BFC中：∠BEG=∠BFC，公共角∠EBG=∠FBC

所以；这两个三角形相似，有∠BGE=∠BCF=90°

即：AE⊥BF

2、由∠AGF=∠ADF=90°得知A， G， F， D四点共元，

所以：∠DAG=∠BFC，∠AGD=∠AFD

而：由△ADF≌△BCF得知∠AFD=∠BFC

所以：∠AGD=∠BFC=∠DAG

即：△ADG是等腰三角形

所以：AD=DG

追问

能解释一下有关“四点共圆”的内容吗？

追答

所谓四点共元，即四个点都在同一个元上。
如果一个四边形的对角之和等于180°，那么这个四边形的四个顶点共元。

Answer 2

∵ABCD是正方形
∴角ABE=角BCF=90°，AB=BC=CD
又：E、F分别是BC、CD的中点
∴BE=CF
在三角形ABE与△BCF中，AB=BC，角ABE=角BCF，BE=CF
∴△ABE ≌ △BCF
∴AE=BF

∵△ABE ≌ △BCF
∴角BAE=角CBF
又：角BAE+角BEG=90°
∴角CBF+角BEG=90°
∴角EGF = 角EBG+角BEG=角CBF+角BEG=90°
∴AE⊥BF

做DM∥FB，分别交AB、AE于M、N
∵AE⊥BF，DM∥FB
∴DM⊥AE
∴DN是△DAG的高线
又：BN∥FD，DM∥FB
∴MBFD是平行四边形
∴MB=FD=1/2BC=1/2AB，即M是AB中点
又：MN∥BG
∴N是AG中点
∴DN是是△DAG的中线
∵DN是△DAG的高线和中线
∴△DAG是等腰三角形
∴AD=GD

Answer 3

证明：
取ab的中点h，连接dh，交ae于h
∵四边形abcd是正方形
∴ab=bc=cd，∠abe=∠bcf=90º
∵e,f分别是bc,cd的中点
∴be=cf
∴⊿abe≌⊿bcf（sas）
∴∠bae=∠cbf
∵∠bae+∠bea=90º
∴∠agb=∠cbf+∠beg=90º
∵bh=df，bh//df
∴四边形bfdh是平行四边形
∴bf//hd
∴∠ahh=∠agb=90º
∵ah=bh
∴ah=gh【平行线等分线段定理】
∴dh垂直平分ag
∴ad=gd【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
希望能帮到你，祝学习进步，记得采纳，谢谢

Answer 4

证明：
取ab的中点h，连接dh，交ae于h
∵四边形abcd是正方形
∴ab=bc=cd，∠abe=∠bcf=90º
∵e,f分别是bc,cd的中点
∴be=cf
∴⊿abe≌⊿bcf（sas）
∴∠bae=∠cbf
∵∠bae+∠bea=90º
∴∠agb=∠cbf+∠beg=90º
∵bh=df，bh//df
∴四边形bfdh是平行四边形
∴bf//hd
∴∠ahh=∠agb=90º
∵ah=bh
∴ah=gh【平行线等分线段定理】
∴dh垂直平分ag
∴ad=gd【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
希望能帮到你，祝学习进步，记得采纳，谢谢

Answer 5

1）RT△ABE及RT△CBF中，∠ABE=CBF=90°，AB=CB，BE=CF，所以RT△ABE≌RT△CBF，即AE=BF且∠BAE=∠CBF，所以∠CBF+∠AEB=∠BAE+∠AEB=90°，即AE⊥BF。
2）取AB中点H，连DH交AE与K，不难知BH//=FD，所以四边形DHBF是平行四边形。所以HK//BG。有H是AB中点，所以HK是△ABG的中位线，所以K是AG中点，又因AE⊥BF，所以DK⊥AG，即△ADG的AG边的中线及高重合，不难知△ADG是等腰三角形，AD=GD。