Question

帮忙算下下面的变上限积分函数，题目如图。需要详细解答。

Answer 1

第一题：
原式=sinx*ln(2+sinx)*sin'x=sinxcosx*ln(2+sinx)=sin2x*ln(2+sinx)/2;
第二题：
被求导的函数是关于x的函数，与t无关，即现对于变量t而言，此函数为常值，
故原式=0.

追问

你好，变上限函数的定义中，被积函数不应该是以另外的t作为变量，x作为积分上限函数使用的吗？
那么第一题中，被积函数与积分上限函数为同一变量，也可以这么解题吗？
请帮忙解惑

追答

变上限函数求导时，应该用积分上限取代被积函数中的积分变量，取代后的被积函数再乘以积分上限的导数，此结果就是该变上限函数的导函数。
第一题中，应该这样理解：
d∫xln(2+x)dx
------------------------------
dx

d∫tln (2+t)dt
=----------------------------
dx

d∫tln (2+t)dt
u=sinx du
=========--------------------------------*--------------------
换元 du dx

=uln (2+u)*u'

u=sinx
======sinx*ln(2+sinx)*cosx
还原

Answer 2

sinx*ln(2+sinx)*cosx

ln(2+sinx)*cosx

Answer 3

第一题=sinx cosx ln（2+sinx）
=0.5 sin2x ln（2+sinx）
第二题=cosx ln（2+sinx）