Question

求不定积分∫(1-x^6)/(x(1+x^6))dx 的积分

我就知道第一步分子分母同乘以x^5变成：（1-x^6)/(6x^6(1+x^6))dx^6
然后就不会求了，要完成步骤，用的是凑微分法，谢谢了

Answer 1

凑微分做法：
∫(1-x^6)/(6x^6(1+x^6))d(x^6)
为了方便写可以设t=x^6
=(1/6)*∫(1-t)/t(1+t)
有理函数的积分，待定系数法A/t-B/(1+t)=(1-t)/t(1+t)
所以A(1+t)-Bt=1-t
A=1,A-B=-1=>B=2
(1/6)*∫(1-t)/t(1+t)
=(1/6)∫[1/t-2/(1+t)]dt
=(1/6)lnt-(1/3)ln(1+t)+C
=(1/6)lnx^6-(1/3)ln(1+x^6)+C
=lnx-(1/3)ln(1+x^6)+C

追问

你好，请问凑微分法的完整步骤应该是怎样做
=(1/6)*∫(1-t)/t(1+t)
接下来我也不会

追答

接下去就是有理函数的不定积分的一种方法，把(1-t)/t(1+t)拆开，拆成(1/t)-[2/(1+t)]
这个可以用待定系数法做。我上边已经写的很详细了啊。然后分开逐个积分，就容易了。