Question

已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+……+(-1)^n-1(4n-3),求S15+S22-S31的值

S[2n]=(1-5)+(9-13)+(17-21)+...+{[4(2n-1)-3]-[4(2n)-3]}
S[2n-1]=1+(-5+9)+(-13+17)+(-21+25)+...+{-[4(2n-2)-3]+[4(2n-1)-3]}
请解释这两个式子的后面部分 为什么？谢谢

Answer 1

Sn中两项两项结合以后的和都是-4
S[2n]表示前2n项的和，总项数是偶数，故共可以得到n个-4
故S[2n]=(1-5)+(9-13)+(17-21)+...+[(8n-7)-(8n-3)]=-4n
1,9,17……的通项是8n-7 5,13,21……的通项是8n-3
S[2n-1]表示前2n-1项的和，总项数是奇数，但只要将第一项1单独放一边，从第二项起两项两项结合，都是4，由于第二项往后共有2n-2项，故共可以得到n-1个4
故S[2n-1]=1+(-5+9)+(-13+17)+(-21+25)+...+[(-8n+11)+(8n-7)]
=1+4(n-1)=4n-3
这里-5,-13,-21的烂宴饥通项是-8n+11 9,17,25……祥困的通饥返项是8n-7
所以S15+S22-S31=(4*8-3)+(-4*11)-(4*16-3)=76