Question

1.在数列（an）中，a1=3，an+1=an+2n，求an和Sn 2.a1=3，an=(n+1) /n*an-1 看不懂看图

Answer 1

解：1. 已知a(n+1)-an=2n
所以：a2-a1=2*1
a3-a2=2*2
a4-a3=2*3
a5-a4=2*4
。
。
。
an-a(n-1)=2*9(n-1)

以上各式相加，就会把a2,a3,......a(n-1).这些项消掉。所以可以得到
an-a1=2*1+2*2+2*3....+2*(n-1)

＝2*（1+2+3.。。。。+n-1)
=2*{(n-1)*1+(n-1)(n-2)/2}
=n(n-1)
又因为a1=3,所以an=n(n-1)+3这里考的是累加法的运用！！！
所以an=n²-n+3
又Sn=(a1+a2+a3+.....+an
=(1²+2²+...+n²)-(1+2+...+n)+3n
=(1/6)n(n+1)(2n+1)-n(n+1)/2+3n
=(1/3)n(n²+8)
其中n²的求和有个公式，也就是如果an=n²,那么Sn=n(n+1)(2n+1)/6 ，可以直接用！！
2. an=(n+1) /n*an-1
得an/a(n-1)=(n+1)/n{n>=2}
所以，a2/a1=3/2
a3/a2=4/3
a4/a3=5/4
。
。
。
。
a(n-2)/a(n-3)=n-1/n-2

a(n-1)/a(n-2)=n/n-1
an/a(n-1)=n+1/n
以上各式相乘，那么就会相应的消掉a2,a3,a4.....a(n-1)
叠乘 an/a1=(n+1)/2
已知a1=3
所以an=3(n+1)/2{n>=2}
又当n=1时，an=3(n+1)/2＝3*（1+1）/2＝3
所以an=3(n+1)/2{n>=1}
这个考的累乘法！！！这个要注意的是后面的那几项，特别容易出错！！！
不清楚的话可以再问！！！

Answer 2

1. 已知a(n+1)-an=2n
推得an-a(n-1)=2(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)
........
a2-a1=2*1=2
叠加an-a1=2[1+2+....+(n-1)]=2n(n-1)/2=n²-n
已知a1=3
所以an=n²-n+3
Sn=(1²+2²+...+n²)-(1+2+...+n)+3n
=(1/6)n(n+1)(2n+1)-n(n+1)/2+3n
=(1/3)n(n²+8)
2. an/a(n-1)=(n+1)/n
a(n-1)/a(n-2)=n/(n-1)
.....
a2/a1=3/2
叠乘 an/a1=(n+1)/2
已知a1=3
所以an=3(n+1)/2
Sn=(3/2)[(1+2+...+n)+n]
=(3/2)[n(n+1)/2+n]
=(3/4)(n²+3n)

Answer 3

解：an+1=an+2n
∴a(n+1)-an=2n
an-a(n-1)=2(n-1)
故 an=[an-a(n-1)]+[a(n-1)-a(n-2)]+………+[a2-a1]+a1
=2(n-1)+2(n-2)+……+2*1+1
=2*（n-1+1）*(n+1)/2
=n(n-1)+1=n^2-n+1
所以 Sn=a1+a2+……+an
=(1^2-1+1)+(2^2-2+1)+……+（n^2-n+1）
=(1^2+2^2+……+n^2) - (1+2+……+n)+n
=n(n+1)(2n+1)/6 - n(n+1)/2 +n
（2）an=(n+1) /n*an-1
则 an/a(n-1) =(n+1)/n
an= an/a(n-1) ×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1 ×a1
=(n+1)/n × n/(n-1)……3/2 ×3
=3(n+1)/2

祝你进步！！

Answer 4

an+1=an+2n
an=an-1+2(n-1)
......以此类推
a2=a1+2
所有式子相加得
an+1=a1+2+2*2+...+2n
所以an=a1+2(1+2+...+n-1)=a1+2*[(1+n-1)*(n-1)/2]=3+n*(n-1)