线性代数矩阵题
证明：与对角矩阵A=diag(a1,a2……an)(其中a1,a2……an两两不相等）可交换的矩阵必定是对角矩阵...
证明：与对角矩阵A=diag(a1,a2……an)(其中a1,a2……an两两不相等）可交换的矩阵必定是对角矩阵
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证: 设 B=(bij), A=diag(a1,a2,...,an), i≠j时ai≠aj.
有 AB = BA.
则
a1b11 a1b12 ... a1b1n
a2b21 a2b22 ... a2b2n
... ...
anbn1 anbn2 ... anbnn
=
a1b11 a2b12 ... anb1n
a1b21 a2b22 ... anb2n
... ...
a1bn1 a2bn2 ... anbnn
比较AB与BA第i行第j列的元素,得
aibij = ajbij
由i≠j时ai≠aj得 bij=0.
所以 B 是对角矩阵.
有 AB = BA.
则
a1b11 a1b12 ... a1b1n
a2b21 a2b22 ... a2b2n
... ...
anbn1 anbn2 ... anbnn
=
a1b11 a2b12 ... anb1n
a1b21 a2b22 ... anb2n
... ...
a1bn1 a2bn2 ... anbnn
比较AB与BA第i行第j列的元素,得
aibij = ajbij
由i≠j时ai≠aj得 bij=0.
所以 B 是对角矩阵.
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