Question

三角函数不定积分把我弄糊涂了！

(1) ∫cos三次方x * sin x dx=-∫cos三次方x d cos x=-1/4 cos四次方x
(2) ∫cos三次方x * sin x dx=∫cos²x*sin x d sin x=∫(1-sin²x)sin x d sin x
=∫(sin x -sin三次方x)d sin x=1/2 sin²x-1/4 sin四次方x
第二个求定积分的方法哪里错了谁能告诉我？？？？？？？？？？
还是说可以有两个原函数？
我日想了半天原来是忘了加常数C...........

Answer 1

第一个方法：
∫cos³xsinx dx
=∫cos³x d(-cosx)
=(-1/4)cos^4x + C'
第二个方法：
∫cos³xsinx dx
=∫(1-sin²x)sinx d(sinx)
=∫(sinx-sin³x) d(sinx)
=(1/2)sin²x-(1/4)sin^4x + C

其实2个答案都对，只是表达方式不同：
(1/2)sin²x-(1/4)sin^4x+C
=(1/2)(1-cos²x)-(1/4)(1-cos²x)²+C
=(1/2)-(1/2)cos²x-(1/4)(1-2cos²x+cos^4x)+C
=(1/2)-(1/2)cos²x-(1/4)+(1/2)cos²x-(1/4)cos^4x+C
=(-1/4)cos^4x+(1/2-1/4)+C
=(-1/4)cos^4x+C'，C'=1/2-1/4+C
所以两个答案都是一样的

Answer 2

当m=-1,n=3时 原式=3x(-1)x(-1)-2x3+7x(-1)x3 =3-6-21 =-24