Question

一道初三数学几何题

在平行四边形ABCD内,AR,BR,CP,DP各位四角的平分线。求证：SQ∥AB,RP∥BC.

Answer 1

连结SQ，延长CP交AB于E
∵ABCD为平行四边形，BR、CP为角平分线
，∴CP⊥BR
同理，∴CP∥AR，BR∥DP
∵BR为角平分线，CE⊥BR∴AD=BC=BE
在直角三角形ADS和直角三角形BEQ中，∵AD=BE，∠DAS=∠SAP=∠QEB
∴三角形ADS≌直角三角形BEQ
∴AS=EQ
又∵AS∥EQ
∴四边形ASQE为平行四边形，SQ∥AB
连结RP，RP与SQ交于F
∵CP⊥BR，AR⊥DP，DP⊥CP，AR⊥BR
∴四边形RQPS为矩形
∴∠RPQ=∠PQS
∵SQ∥AB∴∠PQS=∠QEB=∠PCB，∴∠RPQ=∠PCB，∴RP∥BC

Answer 2

连结SQ，延长CP交AB于E
∵ABCD为平行四边形，BR、CP为角平分线，∴CP⊥BR，即CE⊥BR；同理AR⊥DP，DP⊥CP，AR⊥BR；∴CP∥AR，BR∥DP。
∵BR为角平分线，CE⊥BR∴AD=BC=BE。在直角三角形ADS和直角三角形BEQ中，∵AD=BE，∠DAS=∠SAP=∠QEB，∴三角形ADS≌直角三角形BEQ，∴AS=EQ，又∵AS∥EQ，∴四边形ASQE为平行四边形，SQ∥AB

连结RP，RP与SQ交于F
∵CP⊥BR，AR⊥DP，DP⊥CP，AR⊥BR，∴四边形RQPS为矩形，∴∠RPQ=∠PQS。
∵SQ∥AB∴∠PQS=∠QEB=∠PCB，∴∠RPQ=∠PCB，∴RP∥BC