Question

设无穷等比数列an的前n项和为sn，所有项的和为s，且满足s=an+sn，则an的公比是？

Answer 1

s=a1(1-q^m)/（1-q），m趋近于无穷大
sn=a1(1-q^n)/（1-q），n为任意正整数
an=a1q^(n-1)
那么a1(1-q^m)/（1-q）=a1q^(n-1)+a1(1-q^n)/（1-q）
化简得q^(m-n+1)=2q-1
当|q|>1时，那么左边为无穷大，右边为常数，等式不成立
当q=1时，左边为1，右边也为1，等式成立
当q=-1时，左边一下正一下负，不存在
当|q|<1时，左边的极限为0，右边为2q-1，那么0=2q-1，得q=1/2
这就要看你题目有没有要求了，如果不能用极限的话q=1
如果可以，那么q=1或者1/2

Answer 2

由题意得|q|<1,且Sn＝a1(1-q^n)/(1-q),s=a1/(1-q)
而an=a1q^(n-1)
因s=sn+an 则a1/(1-q)=a1q^(n-1)+a1(1-q^n)/(1-q)整理得q/(1-q)=1解得q=1/2

追问

整理过程可否详细点

追答

首先，先消去a1并将等式右边最后一项移到左边即可

Answer 3

设an的首项和公比分别为a,q
则 sn = a (1 - q^n) / (1-q)
所有项之和= s => |q| < 1

=> s = aq^(n-1) + sn
=> a / (1-q) * (q^(n-1) - 2q^n + 1) = s
=> q = 1/ 2

追问

最后第二步怎么来的

追答

aq^(n-1) + sn = aq^(n-1) + a (1 - q^n) / (1-q)

= a / (1-q) * (q^(n-1) - 2q^n + 1)