Question

请问以下这条n阶行列式怎么解？

Dn=| x y y y ... y|
| z x y y.....y|
| z z x y .....y|
| z ...x y|
| z z z ... ...x|

Answer 1

解: D =
z+(x-z) y y ... y
z x y ... y
z z x ... y
... ...
z z z ... x
= D1 + D2.

D1 =
x-z y y ... y
0 x y ... y
0 z x ... y
0 ... ...
0 z z ... x
= (x-z) Dn-1

D2 =
z y y ... y y
z x y ... y y
z z x ... y y
... ...
z z z ... x y
z z z ... z x

第 1列提出z, 然后第1列乘(-y)加到其余各列, 得
D2 = z(x-y)^(n-1)

所以有
D = D1 + D2 = (x-z) Dn-1 +z(x-y)^(n-1)
因为行列式的值等于其转置行列式, 所以有
D = (x-y)Dn-1 +y(x-z)^(n-1)
两式消去 Dn-1 得
D = [y(x-z)^n - z(x-y)^n]/(y-z).