Question

已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2|（a∈R，且a不等于-2）。

（2）若f(x)和g(x)在区间(-∞,(a+1)^2)上都是减函数，求a的取值范围
（3）在（2）的条件下，比较f(1)和1/6的大小.

Answer 1

我只能看到第二问和第三问
（2）
因为lg|a+2| 为常数
对f（x）求导得f'(x)=2x+a+1 因为f(x)在区间(-∞,(a+1)^2)上都是减函数
所以令f'(x)=2x+a+10≤0 得 x≤-1/2(a+1) 所以(a+1)^2≤-1/2(a+1)
得出2a²+5a+3≤0 即(2a+3)(a+1)≤0 得出-3/2≤a≤-1

(3) 因为-3/2≤a≤-1 所以1/2≤2+a≤1
f(1)=1+1+a+lg(2+a)=2+a+lg(2+a)
因为对于函数s(x)=x+lgx 是（0，+∞）上的增函数。
所以2+a=1时2+a+lg(2+a)有最大值为1+lg1=1〉1/6
当2+a=1/2时2+a+lg(2+a)有最小值为1/2+lg1/2=lg[(10^1/2)/2]
lg[(10^1/2)/2]-1/6=lg[(10^1/2)/2]-lg10^1/6 经化简可得=lg[(10^1/3)/2]=lg[(10^1/3)/8^1/3]=lg[(5/4)^1/3]
因为5/4>1 所以lg[(5/4)^1/3]>0
所以lg[(10^1/2)/2]-1/6>0所以lg[(10^1/2)/2]>1/6
所以f(1)>1/6