Question

已知函数y=f(x)的定义域为R,，且f(x)不恒为0，且对任意x,y属于R,都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）求

求f（0）的值；判断函数y＝f（x）的奇偶性；当x＞0时，f（x）＜0，判断函数y＝f（x）的单调性。请写明计算过程，谢谢！

Answer 1

令x=y=0
x+y=0
f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0

令y=-x
则x+y=0
f(0)=f(x)+f(-x)
所以f(-x)=-f(x)
所以是奇函数

令x1>x2
f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=-a
则f(x-a)=f(x)+f(-a)
奇函数
则f(x-a)=f(x)-f(a)
所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)
x1>x2则x1-x2>0
x>0,f(x)<0
所以f(x1-x2)<0
即x1>x2,f(x1)<f(x2)
所以在R上是减函数

Answer 2

令x=0,y=0, 则f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
令y=-x，则f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)=0，∴f(-x)=-f(x)，函数为奇函数
当x>0时，f(x)<0，说明函数在x>0时为单调递减函数
当x<0时，-x>0，f(-x)=-f(x)<0，∴f(x)>0，∴函数在x<0时也是单调递减函数
当x=0时，f(x)=f(0)=0，可并入上述任意不等式，故也为单调递减函数
∴函数在定义域R上为单调递减函数
希望对你有帮助！

Answer 3

设y=0,f(x+0)=f(x)+f0),f(0)=0
设y=-x，f(x-x)=f(x)+f(-x),f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x)
f(x)是奇函数
设0<x1<x2,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
x2-x1>0,f(x2-x1)<0
f(x2)<f(x1)
即f(x)是减函数

Answer 4

令x=0，有f（y）=f（0）＋f（y），所以f（0）=0。
令x=-y，有f（0）=f（x）＋f（y）=f（x）＋f（-x）=0，所以f（-x）=-f（x），所以是奇函数。
令x＞y＞0,f（-y）=-f（y）,f（x-y）＝f（x）＋f（-y）=f（x）-f（y）＜0,f（x）＜f（y）,所以是单调递减函数