Question

设y=f(x)是定义域R上的函数,且对于任意x,y∈R恒有f(x+y)=f(x)·f(y),若x>0时,0<f(x)小于1时

求证1.f(0)=1，且有x<0时，f(x)>1;
2.f(x)在R上单调递减

Answer 1

1.取x=y=0得到f(0+0)=f(0)*f(0)
所以f(0)=0 or f(0)=1
如果f(0)=0,则对于任意x有 f(x+0)=f(x)*f(0)=0
与x>0时,0<f(x)小于1矛盾
所以必有f(0)=1
任取x<0,则0<f(-x)<1
1=f(x-x)=f(x)f(-x)
所以 f(x)=1/f(-x) >1
2.任取x1<x2,则x1-x2<0,f(x1-x2)>1
由前面可知f(x)>0恒成立
所以f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)*f(x1-x2)>f(x2)*1=f(x2)
由任意性知道f(x)在R上单调递减

Answer 2

问题补充：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称