Question

已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x.y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,

已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x.y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-2/3。(1)求证f(x)为奇函数(2)求f(x)在R上是减函数,(3)求f(x)在(-3,6)上最大值和最小值

Answer 1

取y=x=0，f(0)+f(0)=f(0+0)，f(0)=0
取y=-x，f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0，f(x)=-f(-x)
定义域为R所以f(x)为奇函数
（2）取x1＞x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
当x>0时,f(x)<0
x1-x2＞0
f(x1-x2)＜0
f(x1)＜f(x2)
f(x)在R上是减函数
（3）(-3,6)应该是[-3,6]吧 否则没有最大和最小
显然最大是f（-3) =f(-1)+f(-2)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=3f(-1)=-3f(1)=2
最小是f(6)=6f(1)=-4

Answer 2

(1):采用赋值法 易得证f(x)=-f(-x)
(2)运用定义法证明（做差法）
（3）：迭代法

Answer 3

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