Question

定义域在R上的函数f(x)满足对任意实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)。当x>0时，f(x)<0且f(1)=-2,(1)求证f(0)=0

定义域在R上的函数f(x)满足对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)+f(y)。当x>0时，f(x)<0且f(1)=-2,(1)求证f(0)=0 (2)判断f(x)的奇偶性 （3）判断f(x)的单调性 （4）解不等式f(x^2-2x)-f(x)>=-8

Answer 1

(1) 令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)
f(0)=0
(2) 令y=-x
f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
f(x)=-f(-x)
∴f(x)是奇函数
(3) 令x1>x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
∵x1-x2>0
∴f(x1-x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
∴f(x)是单调递减函数

（4）f(2)=f(1)+f(1)=-4
f(4)=f(2)+f(2)=-8
f(x^2-2x)-f(x)=f(x^2-2x)+f(-x)=f(x^2-3x)>=-8=f(4)
因为f(x)是减函数
x^2-3x<=4
x^2-3x-4<=0
-1<=x<=4

Answer 2

1）
f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0) 故：f（0）=0
2)
0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
f(x)为奇函数；
3）
设 x1<x2 则：x2-x1>0
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0
f(x)单调递减；
4）
-8 =4*（-2）=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=f(4)
f(x^2-2x)-f(x)-f(4)=f(x^2-2x-x-4)=f(x^2-3x-4） >=0
即：x^2-3x-4<=0
即：-1<=x<=4

Answer 3

令y=x=0
f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=f(0)+f（0）
f(0)=0
f(x0是奇函数：令y=-x
f(x+y)=f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(0）=f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x)
f(1)=-2,f(-1)=-f(1)=2
∴f(x)单调递减
f(x^2-2x)-f(x)=f(x²-2x)+f(-x)=f(x²-2x-x)=f(x²-3x)≥8
∴x²-3x≤4
∴-1≤x≤4

Answer 4

证明：(1)因为f(k)=f(k+0)=f(k)+f(0),所以f(0)=0
(2)因为f(a-a)=f(a)+f(-a)=0，所以f(x)为奇函数
(3)令m>0,则f(m)<0，因为f(k+m)=f(k)+f(m)<f(k)，所以f(x)为单调递减函数
(4)f(x^2-2x)-f(x)=f(x^2-2x)+f(-x)=f(x^2-2x-x)=f(x^2-3x)>=-8=4*f(1)=f(4)，则x^2-3x<=4，所以-1<=x<=4

Answer 5

1,f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0；
2,f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0;
3,设x1>x2,所以f（x1）-f(x2)=f(x1-x2)<0,(因为当x>0时，f(x)<0),
所以f(x)的单调递减；
4，f(x^2-2x)-f(x)=f(x^2-3x)<=f(-9/4)