Question

如何用单调性的定义证明函数y=x+1/x在(0,1)上是减函数

Answer 1

令0<x1<x2<1
那么f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
=(x1-x2)-(x1-x2)/x1x2
=(1-1/（x1x2）)(x1-x2)
因为x1<x2
所以x1-x2<0
因为0<x1<1,0<x2<1
故0<x1x2<1
那么1/x1x2>1
即1-1/x1x2<0
故(1-1/x1x2)(x1-x2)>0
那么f(x1)>f(x2)
所以f（x）=x+1/x证明在区间（0，1）上是减函数

Answer 2

设0<a<b<1,令f（x）=1+1/x,则有f(a)-f(b)=a+1/a-b-1/b=(b-a)/(ab)-(b-a)>(b-a)/1-(b-a);
因此，f(x)在（0，1）上单调递减

Answer 3

令0<x1<x2<1
那么f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
=(x1-x2)-(x1-x2)/x1x2
=(1-1/（x1x2）)(x1-x2)
因为x1<x2
所以x1-x2<0
因为0<x1<1,0<x2<1
故0<x1x2<1
那么1/x1x2>1
即1-1/x1x2<0
故(1-1/x1x2)(x1-x2)>0
那么f(x1)>f(x2)
所以f（x）=x+1/x证明在区间（0，1）上是减函数

Answer 4

楼上正解

Answer 5

嘿嘿。。。lz在做数学必修一的作业本17页的第12道题目吧。。表示我也在做这道o(∩_∩)o