Question

设f(x)在x=0的某邻域内连续，且lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2,求f(0),并证明f`（0）存在并求之

答案第一步说由lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2及极限与无穷小的关系，解得f(x)=[(2+a)x^2+ln(1+x)]/x,其中lim x→0 a=0.这是怎么算出来的。

Answer 1

lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2
[xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2+a a是一个无穷小量，lim x→0 a=0

这就相当于 lim x→0 f(x)=A 那么f(x)=A+a a是一个无穷小量。lim x→0 a=0。这是无穷小引理。
下面解之。
已知f(x)在x=0的某邻域内连续，所以，极限值等于函数值
f(0)=lim x→0 f(x)=lim x→0 [(2+a)x^2+ln(1+x)]/x =洛必达法则=limx→0 2(2+a)x+1/(1+x) =1
f(0)=1
f'(0)=lim x→0 [f(x)-f(0)]/x =lim x→0 [f(x)-1]/x =lim x→0 [(2+a)x^2+ln(1+x)-1]/x 同样用洛必达法则，得f'(0)=1