Question

已知(x^2-1/根号x)^n的展开式中第三项与第五项的系数之比为3/14，则展开式中常数项是？

答案详细·些

Answer 1

(x^2-x^(-1/2))^n的展开式为：
(x^2-x^(-1/2))^n=(x^2)^n+C(n,1)*(x^2)^(n-1)*(x^(-1/2))^1+...+C(n,k)*(x^2)^(n-k)*(x^(-1/2))^k
通项表达式为：T(k+1)=C(n,k)*(x^2)^(n-k)*(x^(-1/2))^k=C(n,k)*(x^(2n-5/2k)
∴第3项为：T3=C(n,2)*(x^2)^(n-2)*(x^(-1/2))^2
第5项为：T5=C(n,4)*(x^2)^(n-4)*(x^(-1/2))^4
二者系数比为：C(n,2)/C(n,4)=[n!/(2!(n-2)!)]/[n!/(4!(n-4)!)]=3/14
∴[4!(n-4)!/(2!(n-2)!)]=[4*3*2!(n-4)!/(2!(n-2)(n-3)(n-4)!)]=4*3/((n-2)(n-3))=3/14
即 (n-2)(n-3)=4*14 ，n^2-5n+6=56，n^2-5n-50=0
解得n=10 (n=-5舍弃)
由通项T(k+1)=C(n,k)*(x^(2n-5/2k)可知，常数项为C(n,k)，其中2n-5/2k=0 (0≤k≤n)
方程2n-5/2k=0等效于4n=5k，
∵n=10，∴k=8
∴ 常数项为C(10,8)=C(10,2)=10*9/2!=45
希望对你有帮助！