Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O点作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的平分线于点E

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O点作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F
①求证：OE=OF
②当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形；并证明你的结论

Answer 1

1.
∵MN‖BC
∴∠BCE=∠OEC
∵CE是∠BCA的平分线
∴∠BCE=∠ECA
∴∠ECA=∠OEC
即 OE=OC
同理 OF=OC
可证 OE=OF
2.
当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF= 1/2∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形

Answer 2

解：（1）∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF= 12∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．

Answer 3

1）∵CE，CF分别平分∠ACB与那个外角。∴∠AEC=∠ECB，∠ACF等于右边的那个角。∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB=∠ACE。∴OE=OC。又∵∠OFC=∠OCF=∠ACF的右边的那个角，∴OF=OC
（2）当O为AC中点时，（思路如下）证△AOE与△COF全等（SAS），再证△EAC与△CFE全等（AAS）.........全等得出的一些条件（OE等于OC等于OA等于OF，AC等于EF）可证四边形AECF为矩形 。。。。愿楼主采纳

Answer 4

证明：（1）∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF= 12∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．