Question

已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x＞0时，f(x)＞0，试判断f(x)在（0，+∞)上的单调性。

Answer 1

单调增，令式中y等于德尔塔x（大于零），就有
f（x 加 德尔塔x）等于f（x）加f（德尔塔x）
，由于f（德尔塔x）大于零，因此
f（x 加 德尔塔x） 大于 f（x）
就是说自变量增加导致函数值增加，也就是增函数。

Answer 2

令y=-x
则f(x)+f(-x)=f(0)
令x=y=0
则f(0)+f(0)=f(0)
所以f(0)=0
即f(x)+f(-x)=0
所以f(x)是奇函数

设x1>x2
则x1-x2>0
由已知得f(x1-x2)>0

f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)
=f(x1)-f(x2)>0
根据增、减函数的定义，
因为x1>x2,f(x1)>f(x2)
所以是递增函数。