Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时

f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性

Answer 1

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)，x，y∈R中，
令x=y=0，得f(0)=0，
再令y= -x，由f(0)=0，
得f(x)+f(-x)=0，即f(-x)= -f(x)
∴f(x)为R上的奇函数.

设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵已知当x∈R+时，f(x)>0，且△x>0，
∴f(△x)>0，即f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2)，
由增减函数的定义可知，f(x)在R上为增函数.

Answer 2

a、b>0
f(a+b)-f(a)=f(b)>0
单调递增

挺简单的，范围限制住了，没必要弄那么负责