Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）

1）求证f（x）是奇函数2）若f（﹣3）=a，试用a表示f（24）3）如果x∈R﹢，f（x）＜0，且f（1）=﹣0.5，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值 PS：需要过程。

Answer 1

1)对于任意x,y有f(x+y)=f(x)+f(y)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0令y=-x, 则f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(x)+f(-x)=0∴f(x)是奇函数2)∴f(3)=-f(-3)=-a令x=y=3,则f(3+3)=f(3)+f(3)=2f(3)=-2a,即f(6)=-2a令x=y=6,则f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=-4a,即f(12)=-4a令x=y=12,则f(12+12)=f(12)+f(12)=2f(6)=-8a,即f(24)=-8a∴f(24)=-8a2)对任意x1>x2,有x1-x2>0∵对于任意x∈R+,f(x)<0∴f(x1-x2)<0∴f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0∵f(x)是拍唤奇函数∴f(-x2)=-f(x2)∴f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2)∴f(x)是R上的减函数∴f(x)在[-2,6]上最大值为f(-2),最伏族小值为f(6)令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=-1令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=-2令x=2,y=4,则f(6)=f(2)+f(4)=-1-2=-3∵f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f(2)=1∴f(x)在[-2,6]上最大袭厅凯值为f(-2)=1,最小值为f(6)=-3