Question

如图，正方形ABCD中，过D点做AC//DE,∠ACE=30°，CE交AD于点F，求证AE=AF

Answer 1

证明:作EM垂直AC于M,DN垂直AC于N,又AC平行DE,则:EM=DN=AC/2;
作AP垂直CE于P,角ACE=30度,则:AP=AC/2.
故AP=EM.
由面积关系可知:AC*EM=CE*AP,故AC=CE,得:∠AEC=∠EAC=75°;
又∠AFE=∠FAC+∠ACF=75°.
所以,∠AFE=∠AEC,得:AE=AF.

Answer 2

解：由DE//AC得：∠DEC=∠ACE=30°,
又∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°
则：∠ECD=15°
故：∠EDC=180°-∠ECD-∠CED=135°;
由 EC/sin∠EDC=DC/sin∠DEC,
得：EC=DC/sin∠DEC*sin∠EDC=DC/sin135°*sin30°=DC*根2=AC
因EC=AC,∠ACE=30°,得,∠CEA=∠CAE=75°
又，∠AFE=∠CFD=∠DAC+∠ACF=45°+30°=75°
即，∠AFE=∠AEF=75°
即 AE=AF