Question

已知集合A={x丨x²-4mx＋2m+6=0},B={x丨x<0},若A∩B≠空集,求实数m的取值范围

答案是m≤-1

Answer 1

A∩B≠空集
意思就是x^2-4mx+2m+6=0 有小于0的解
那有两种情况
1）一根小于0一个大于0，则△>=0且两根之积小于0
2）两根都小于0，则△>=0且两根之积大于0且两根之和小于0
△=16m^2-8m-24
1）△>=0且两根之积小于0
即16m^2-8m-24>= 0且2m+6<0
得m>=3/2或m<-3
2）△>=0且两根之积大于0且两根之和小于0
即16m^2-8m-24>= 0且2m+6>0且4m<0
得-3<m<=-1
取并集得最终答案m<=-1或m>=3/2且m≠-3

（根与系数关系的公式
ax^2+bx+c=0
则两根之和为-b/a
两根之积为c/a）

Answer 2

解：设全集U=｛a丨△=（-4m）²-4（2m+6）≥0｝=｛m丨m≤-1或m≥3/2｝

若方程x²-4mx+2m+6=0的两根均为非负，则

｛m≤-1或m≥3/2

｛X1+X2=4m≥0

｛X1×X2=2m+6≥0

解得m≥3/2

∴｛m丨m≥3/2｝在U中的补集为｛m丨m≤-1｝

故所求实数m的取值范围为｛m丨m≤-1｝

Answer 3

当A∩B＝空集，A为空集或A中有两个非负根
当A为空集时△＜0 -1＜m＜3
当A中有两个非负根 △≥0 1
X1+X2大于等于0 4m≥0 m≥0 2
X1X2大于等于0 2m+6≥0 m≥-3 3
由1 2 3 m≥3
m＞-1

当A∩B≠空集时，取补集 m≤-1