Question

已知双曲线的中心在原点，离心率为根号3，若它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合，则该双曲线的方程

Answer 1

解：设双曲线的方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0，b>0).
抛物线y²=2px(p>0)的准线方程是x=-p/2.
在抛物线y²=4x中，2p=4，p=2，那么准线方程是x=-1.
由于双曲线的准线与抛物线y²=4x的准线重合，故双曲线的准线是x=-1.
而焦点在x轴上双曲线的准线方程是x=±a^2/c，则-a^2/c=-1，c=a^2.
∵离心率e=c/a=√3
∴a^2/a=a=√3
∴c=a^2=3
∴b^2=c^2-a^2=9-3=6.
∴双曲线的方程是x^2/3-y^2/6=1.