Question

函数f(x)=x^3/3-ax^2+(a^2-1)x+b, (a,b∈R)

函数f(x)=x^3/3-ax^2+(a^2-1)x+b, (a,b∈R),
1、若x=1为f(x)的极值点，求a的值
2、若f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为：x+y-3=0，求f(x)在区间[-2,4]上的最大值
3、当a不等于0是，若f(x)在区间（-1,1）上不单调， 求a的取值范围

Answer 1

导数f'(x)=x^2-2ax+a^2-1
1、若x=1为f(x)的极值点，则x=1是f'(x)=x^2-2ax+a^2-1＝0的一个根
代入得a^2-2a=0，解得a=0或a=2
2、若f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为：x+y-3=0，
则切点为（1，2）
且f'(1)=＝-1，即1^2-2a*1+a^2-1＝-1，解得a＝1
则f'(x)=x^2-2x
f(x)=x^3/3-ax^2+(a^2-1)x+b＝x^3/3-x^2+b
把切点（1，2）代入f(x)得1/3-1+b＝2，则b＝8/3，所以f(x)=x^3/3-x^2+8/3
在区间(-2,0)和(2，4)上，f'(x)>0；在区间（0，2）上，f'(x)<0；当x=0或2时，f'(x)＝0
所以函数f(x)在区间[-2,4]上变化趋势为：增——减——增
画草图可知f(x)在区间[-2,4]上的最大值要么在x=0处，要么在x=4处
f(0)=8/3，f(4)=4^3/3-4^2+8/3=8
所以f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8；
3、当a不等于0是，若f(x)在区间（-1,1）上不单调
则f'(x)=x^2-2ax+a^2-1＝（x-a)^2-1在区间（-1,1）上不恒为正数
有以下两种情况
（1）f'(x)=x^2-2ax+a^2-1＝（x-a)^2-1的顶点这（a，-1）
-1<a<1且f'(-1)>0且f'(1)>0
这种情况无解
（2）f'(-1)f'(1)<0
即[(-1-a)^2-1][(1-a)^2-1]<0
解得-2<a<2