Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明。
用两种方法
没有线段BF

Answer 1

1)∵AC=BC，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴CD⊥AB，CD=AB/2=AD=BD
又∵BF⊥CE，
∴∠DCE+∠CGF=∠DCE+∠CED，
∴∠CGF=∠CED，又∵∠DGB=∠CGF，
∴∠CED=∠BGD
又∵∠CDE=∠BDG=90°,
∴△CDE≌△BDG，
∴DG=DE，
∴AD-DE=CD-DG
即AE=CG

(2)∵AH⊥CE，BF⊥CE，
∴∠MAD=∠GBD，
又∵ ∠ADM=∠BDG=90°，AD=BD，
∴△ADM≌△BDG,
∴DM=DG，
又∵DG=DE，
∴DM=DE，
∴CD+DM=BD+DE，
即CM=BE

Answer 2

证明：过B点作BF⊥CH
∵∠ACB=90°
∴∠ACH+∠BCF=90°
∵CH⊥AM，即∠CAH=90°
∴∠ACH+∠CAH=90°
∴∠BCF=∠CAH
∵CD为等腰三角形斜边上的中线
∴CD=AD
∴有∠ACD=45°
△CAM与△CBE中
∠BCF=∠CAH
BC=CA
∠CBE=∠ACM
∴△CAM≌△CBE（ASA）
∴BE=CM （全等三角形对应边相等）

Answer 3

∵∠ACB=90°
∴∠ACH+∠BCF=90°
∵CH⊥AM，即∠CAH=90°
∴∠ACH+∠CAH=90°
∴∠BCF=∠CAH
∵CD为等腰三角形斜边上的中线
∴CD=AD
∴有∠ACD=45°
在△CAM与△BAE中：
BC=CA
∠BCF=∠CAH
∠CBE=∠ACM
∴△CAM≌△BAE
∴BE=CM

Answer 4

证明：
∵∠ACB=90°
∴∠ACH+∠BCF=90°
∵CH⊥AM，即∠CAH=90°
∴∠ACH+∠CAH=90°
∴∠BCF=∠CAH
∵CD为等腰三角形斜边上的中线
∴CD=AD
∴有∠ACD=45°
△CAM与△BCE中
BC=CA
∠BCF=∠CAH
∠CBE=∠ACM
∴△CAM≌△BCE（ASA）
∴BE=CM

Answer 5

法①
证明：
∵∠ACB=90°
∴∠ACH+∠BCF=90°
∵CH⊥AM，即∠CAH=90°
∴∠ACH+∠CAH=90°
∴∠BCF=∠CAH
∵CD为等腰三角形斜边上的中线
∴CD=AD
∴有∠ACD=45°
△CAM与△BAE中
BC=CA
∠BCF=∠CAH
∠CBE=∠ACM
∴△CAM≌△BAE
∴BE=CM 证毕 □

法②
证明：
过廷长CD到N使DN=CD 连接NB,AN
∵D为AB中点，且ACB为等腰直角三角形AB为斜边
∴AB与CN互相垂直平分
∴ACBN为正方形
∴∠CAG+∠∠NAM=90°
又∵∠EGA=90°
∴∠ACE+∠CAG=90°
∴∠ACE=∠NAM
∵∠EAC与∠CNA均为正方形对角线平分的角
∴∠EAC=∠CNA=45°
△AEC与△AMN中
∠EAC=∠CNA
AN=CA
∠ACE=∠NAM
∴△AEC≌△AMN
∴AE=MN
又∵AB=NC
∴EB=CM 证毕 □