Question

已知函数f(x)=ax-x^3是区间（-∞，+∞）上的单调函数，求实数a的取值范围

Answer 1

求导f'(x)=a-3x^2≤0恒成立。
即a≤0

追问

a-3x^2与ax-x^3有何关系

追答

a-3x^2是ax-x^3求导之后的结果。好像你还没学导数。
那你就利用定义来求。
设x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2
显然f（x）为单调递减函数。
故f（x1）-f（x2）=（ax1-3（x1）^3）-（ax2-3（x2）^3）=a（x1-x2）-3（x1-x2）（x1²+x2²+x1*x2）
=（x1-x2）（a-3（（x1）²+（x2）²+x1*x2））≥0
因为x1-x2＜0，故a≤3（（x1）²+（x2）²+x1*x2））恒成立
而（x1）²+（x2）²+x1*x2=（x1+1/2（x2））²+3/4（x2）²≥0
故a≤0

追问

（（x1）²+（x2）²+x1*x2））中的*是何意？

追答

根据a³-b³=（a-b）（a²+b²+ab）
原式=a（x1-x2）-3（x1-x2）（x1²+x2²+x1*x2）

追问

最后一问:为什么“显然f（x）为单调递减函数”，如何证明？

追答

*是相乘的意思
因为x³前面的系数是负的。一定会存在某个数A，使得（A，+∞）上单调递减。
想说明它是递减函数，那你先说明当它是递增函数的时候不成立。
同样利用上面的分解，我们有a≥3（（x1）²+（x2）²+x1*x2）
显然对于任意a，均不能使上式满足。因为总能找到使a不满足上式的x1，x2。
你写显然f（x）是单调递减函数问题不大的。

Answer 2

先求出函数的导数f'(x)=a-3x^2
令f'(x)<0即判别式＝0-4*(-3)*a<0
解不等式
得a<0

追问

可以简单些吗，太复杂的还没学呢