Question

划线部分不知道为什么秩的那块不等式

Answer 1

设m×n矩阵A与n×s矩阵B满足AB＝0，并且r(A)<n，有结论r(A)+r(B)≤n。这是秩的一个性质。
证明：已知r(A)<n，故以A为系数矩阵的n元齐次线性方程组Ax=0存在基础解系，且基础解系由n-r个解组成，即方程组Ax=0解向量组的秩为n-r。又由条件AB＝0，将B按列分为s块：B=（ß1，ß2，……，ßs），其中ßs为B的第j个列向量，j=1，2，……，s。则由分块矩阵的乘法 AB＝0↔A（ß1，ß2，……，ßs）=（Aß1，Aß2，……，Aßs）=(0,0,……，0)，即Aßj=0（j=1，2，……，s）。这表明矩阵B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解。作为方程组Ax=0解向量组中的s个解，可知r（ß1，ß2，……，ßs）≤n-r，即r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n
你书上说r(A)=0，感觉有问题……

Answer 2

由A(B-C)=0
所以 B-C 的列向量都是 AX=0 的解/
但因为 r(A)=n
所以 AX=0 只有零解.
所以 B-C 的列向量都是 零向量
即有 B-C = 0.

Answer 3

设Ax=0的所有解向量构成解集S
因A(B-C)=O，则（B-C）的每个列向量均是Ax=0的解
即（B-C）的的所有列向量全包含在解集S中
因此R(B-C)<=R(S)
又R(A)+R(S)=n （ 说明：对于Ax=0, R(A)为有用方程个数,亦即非自由未知数个数，R(S)为基础解系中所含向量数，亦即自由未知数个数，两者相加为总未知数个数即A的列数n)
所以R(A)+R(B-C)<=R(A)+R(S)=n
证毕。