Question

已知函数f(x)=|1-1/x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b的最小值是——

Answer 1

|1-1/a|=|1-1/b| 0<a<b
=>1/a>1/b
=>1-1/a<0 1-1/b>0
=>1/a-1=1-1/b
=>1/a+1/b=2
根据柯西不等式
(2a+b)(1/a+1/b)>= [√(2a)*1/ √a+ √b*1/ √b]^2= (√2+1)^2=3+2√2
=>2(2a+b)>=3+2 √2
=>2a+b>=3/2+√2

Answer 2

当x>0时，以“1”为分界，容易知道f(x)在（0，1）上递减，在x>1上递增，

根据0<a<b,且f(a)=f(b),可知0<a<1,b>1，

从而f(a)=1/a -1 ,f(b)=1- 1/b

根据相等得到：1/a + 1/b =2

所以2a+b=1/2 (2a+b)(1/a + 1/b)=1/2 (3+b/a +2a/b )》1/2 (3+2根2）

结论：最小值为（3+2根2）/2