Question

已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则an/n的最小值为

Answer 1

题目：已知数列{an}满足a1=33,a(n+1)-an=2n,则an/n的最小值
解：a(n+1)-an=2n
an-a(n-1)=2(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)
……（以此类推）
各式相加得，an-a1=2×[1+...+(n-2)+(n-1)]=2×{[1+(n-1)](n-1)}/2=n(n-1)
∴an=a1+n(n-1)=n²-n+33
an/n=(n²-n+33)/n=n+33/n-1
∵a+b≥2√ab（取等号的条件是a=b）
∴n+33/n-1≥2√33-1
n=33/n
∴n²=33
∴n=5或者n=6
a5/5=5+33/5-1=10.6, a6/6=6+33/6-1=10.5<10.6
∴an/n的最小值为10.5，n=6

Answer 2

解：
a(n+1)-an=2n
an-a(n-1)=2(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)
……………………
a2-a1=2×1-------------- (n-1)
(1)+(2)+...+(n-1)得 an-a1=2×[1+...+(n-2)+(n-1)]=2×[1+(n-1)](n-1)/2=n(n-1)
∴an=a1+n(n-1)=n²-n+33
an/n=n-1-33/n=n+33/n-1≥2√33-1
所以：n=33/n
所以：n=√33
n=5或者n=6
a5/5=5+33/5-1=10.6, a6/6=6+33/6-1=10.5<10.6
∴an/n的最小值在n=6处取得,为10.5