Question

若关于x的不等式mx2-2mx+1>0恒成立。求m的取值范围

高一数学
1.若关于x的不等式mx2-2mx+1>0恒成立。求m的取值范围
2.已知f（x）是偶函数。且在（-无穷，0）上是增函数，当f（x^2-3x）＞f（2）时求x取值范围。

Answer 1

1.(1)m=0,不等式mx2-2mx+1>0恒成立.(2)m不等于0时，不等式mx2-2mx+1>0恒成立,对应的二次函数y=mx2-2mx+1的图象开口向上，与x轴无交点．对应方程mx2-2mx+1＝0无实根，根半别式小于0,得到m大于0而且小于1.所以m的取值范围是：m大于或等于0且小于1.
2.方法：f（x）是偶函数。图象关于原点对称，在（-无穷，0）上是增函数，则在（0,＋无穷）上为减函数．且f(-x)=f(x)=f(IxI).所以f（x^2-3x）＞f（2）可变为f（Ix^2-3xI）＞f（2),有Ix^2-3xI<2解这个绝对值不等式，结果出来了．

Answer 2

1.若关于x的不等式mx2-2mx+1>0恒成立。求m的取值范围.
解:m=0时,
mx2-2mx+1=1,
1>0;
∴m>0,
由关于x的不等式mx2-2mx+1>0恒成立
得△=b^2-4ac=4m^2-4m<0
得 0<m<1.
m<0时
m∈Φ
综上
0≤m<1.
∴m的取值范围为:0≤m<1.

2.已知f（x）是偶函数。且在（-无穷，0）上是增函数，当f（x^2-3x）＞f（2）时求x取值范围。
解:由f（x）是偶函数。且在（-无穷，0）上是增函数
有f（x）在(0,+∞）上是减函数,
且f（x^2-3x）=f（x^2+3x）.
此时x>0
且f（x^2+3x）>f（2）
由f（x）在(0,+∞）上是减函数,
有x^2+3x<2
即x^2+3x-2<0
解得(-3-√17)/2<x<(-3+√17)/2
由x>0
得 0<x<(-3+√17)/2
∴x取值范围为:0<x<(-3+√17)/2.

Answer 3

答案：1. 0 ≤ m < 1 ；
2. { x | (3-√17)/2 < x < 1，且x ≠0；或 2< x < (3+√17)/2，且x≠3 }

1. 若关于x的不等式mx²-2mx+1>0恒成立，求m的取值范围
解：（1）当m=0时，已知不等式转化为 1 > 0 ，显然，对于x ∈ R恒成立，符合已知；
（2）当m≠0时，这个不等式含k，且关于x的一元二次函数，
对于x ∈ R不等式要恒成立，
即该一元二次函数f(x)=mx²-2mx+1=0无实根（⊿=b²-4ac＜0），
且函数图像恒位于x轴上方（即y=f(x)>0恒成立；此时，必须有m>0，抛物线开口向上），
则等价于：{ m > 0，
{ b²-4ac = (-2m)² - 4*m*1 ＜0，解此不等式为：0 < m < 1
则此不等式组的解为：0 < m < 1
综上所述可得：若关于x的不等式mx²-2mx+1>0恒成立，则 0 ≤ m < 1

2 已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上是增函数，当f（x²-3x）＞f（2）时，求x取值范围
解：已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上是增函数，
所以，f(x)在(0, +∞ )上是减函数，所以若有要f（x²-3x）＞f（2），
则为 （1）x²-3x > 0时，还须有 x²-3x < 2
2）x²-3x < 0时，还须有 x²-3x > -2
即等价于解不等式组：{ - 2 < x²-3x < 0， { 0 < x < 1 或，2 < x < 3
{ 0 < x²-3x < 2， 解得，{ (3-√17)/2 < x <0，或 3< x < (3+√17)/2
解此不等式组可得（取两不等式的解的交集），
{ x | (3-√17)/2 < x < 1，且x ≠0；或 2< x < (3+√17)/2，且x≠3 }