Question

在等比数列{an}中，a1+an=66,a2*a(n-1)=128,且前n项和sn=126,求n及公比q

Answer 1

由a1+an=66,a2*a(n-1)=128可知公比q不为1，所以
an=a1*q^(n-1)，且Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) a2*a(n-1)=(a1*q)*(an/q)
所以 a1与an 为方程 x^2-66x+128=0 的两根
所以 a1=2,an=64或a1=64,an=2
所以 有64=2*q^(n-1)，126=2*(1-q^n)/(1-q)
或2=64*q^(n-1)，126=64*(1-q^n)/(1-q)
解得 n=6,q=2或n=6,q=1/2

Answer 2

设an=a1*q^(n-1)，
有a2*a(n-1)=a1*an=128，
又a1+an=66，
知a1和an是方程x^2-66x+128=0的两根，
求得两根为2和64。

1)设a1=2，an=64，
q^(n-1)=32，
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=a1*[1-q*q^(n-1)]/(1-q)=2*(1-32q)/(1-q)=126
得q=2，
代回q^(n-1)=32 得n=6

Answer 3

a2*a(n-1)=128就等价于(a1*q)*(a(n-1)/q)=128，也就是a1*an=128，和a1+an=66联立，可解得a1=2，an=64
an=a1*q^(n-1)，可以推出q^(n-1)=32
sn=a1*(1-q^n)/(1-q)等价于126=2*（1-32q)/(1-q)，可以解得q=2
n=6