Question

函数y=f(x-2)为奇函数，则函数y=f(x)的图像的对称中心为多少。

1、f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x=1对称，试判断f(x)的周期性。
2、f(x)是定义域在R上的函数，对任意x属于R均满足f(x)=-1除以f(x+1),试判断函数f(x)的周期性。
3、已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x属于R，f(2+x)=f(2-x),当f(-1)=2时,f(2011)的值为多少。

Answer 1

1 对称中心为（-2,0）
2 f(x)的周期为2
3 f(x)是偶函数，f(x)=f(-x)，将x-2代入，有：f(x-2)=f(2-x)，故有f(x+2)=f(x-2)，将x用x+2代替，有
f(x+4)=f(x)。故f(2011)=f(500*4+1)=f(1)=f(-1)=2

追问

可以写出过程吗，不然我看不懂啊。

追答

1 函数y=f(x-2)为奇函数，则函数y=f(x)的图像的对称中心为多少？
【析】：函数y=f(x-2)图像是由函数y=f(x)的图像向右平移2个单位得到。f(x-2)以原点为对称中心，故f(x)的对称中心向左平移2个单位，就是(-2，0)

2 f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x=1对称，试判断f(x)的周期性。
由f(x)的定义域为R的奇函数，有f(x)=-f(-x)
等式两边用x-1替换x，有f(x-1)=-f(1-x)
由图像关于直线x=1对称得：f(1-x)=f(1+x)
后面两个等式，得到：
f(1+x)=-f(x-1)，用x-1代替x
f(x)=-f(x-2)
故有f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4)
故原函数周期为4

3 f(x)=-1/f(x+1)
而f(x+1)=-1/(x+2)
两式联立消去f(x+1)，得f(x)=f(x+2)

4 详细步骤写了

Answer 2

你只要把函数y=f(x-2)通过转化，变成函数y=f(x)的形式就一目了然

追问

怎样转化呢？

追答

你这是高中讲过的啊函数y=f(x--2)+2.就与函数y=f(x-2)的定义域相同，你照这个函数把他的图画出来，就知道了

Answer 3

(-2,0)
1、周期函数 T=4
2、周期函数 T=2
3、2