Question

在抛物线y^2=2x上求一点p,使它到直线x-y+3=0的距离最短，并求此距离的最小值。（答案是5根号2/4,求详细）

老师说设一个点，列距离d=x-y+3的绝对值/根号2，化简后 得y=1时，最小值5根号2/4。但我不理解，求详细或是其他方法，在此感激不尽！！

Answer 1

设P(x,y)，那么y²=2x
点P到直线的距离为
|x-y+3|/√2
=|y²/2-y+3|/√2
=|(y-1)²+5|/(2√2)
=√2[(y-1)²+5]/4
≥5√2/4
当y=1时取得最小值

Answer 2

数形结合：设动直线l: x-y+c=0 代入y^2=2x得：y^2-2y+2c=0
令Δ=0得，c=1/2
最小值为直线l与直线x-y+3=0的距离：5根号2/4