Question

初三证明题 证明三

四边形ABCD为平行四边形，AB=a，BE平行于AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点 （1） 求证 DF=EF (2) 若AC=2CF,角ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长 （3） 在(2)的条件下，求四边形ABED的面积

Answer 1

画好图，连接BD交AC于O点，显然O为AC、BD的中点：
（1）△DEB中，O为边DB中点，且OF//BE，显然OF为△DEB的一条中位线，【可用相似证明】
所以F为DE中点，DF=EF，且OF=1/2*BE
（2）Rt△DCA中，∠ADC=60°，边DC=a，所以AC=√3*a，
因为AC=2CF，所以AO=OC=CF，BE=2OF=2*√3*a=2√3*a
(3)四边形ABED的面积=S△DEB+S△DAB
=1/2*2√3*a*2a+1/2*a*√3*a
=5√3/2*a²【△DEB的边BE对应的高为两倍DC】

Answer 2

沿长DC交BE于G，所以CG平行于AB。因为BE平行于AC，所以四边形ABGC为平行四边形。所以AF平行于BE，CG等于AB。因为AB 等于CD，所以CG等于CD（即C为DG的中点）。所以可得到三角形DCF相似于三角形DGE，所以F也为DE的中点。所以DF=EF。
（2）由条件可得AC=BG=根号3A，所以EG=2CF=AC，BE=BG+EG=3根号3A
（3）S=三角形AFD的面积+梯形ABEF的面积=5/2根号3倍A的平方