Question

是否存在实数m，使f(x)=-x^2+8*x的图像与g(x)=6*lnx+m的图像有三个交点

若有，求m的取值范围；
否则，说明理由。

Answer 1

存在。

当f(x)与g(x)有三个交点时，两函数切于一点，在该点处切线是同一条，导数相等，函数值相等。

f'(x)=-2x+8，g'(x)=6/x。当它们相等时可得2x-8+6/x=0，解得x=1或x=3

当x=1时，f'(1)=g'(1)=6，f(1)=7，g(1)=m，若相等，m=7，此时有两个交点。

当x=3时，f'(3)=g'(3)=2，f(3)=15，g(3)=m+6*ln3，若相等，m=15-6*ln3，此时有两个交点。

当7<m<15-6*ln3时有三个交点。

Answer 2

答： 存在，7<m<15-6ln3

解：依题意，f(x)，g(x)有三交点，
即:f(x)=g(x)必有三实根
-x^2+ 8*x= 6*lnx+ m
x^2-8x+ 6lnx+ m =0

设h(x)=x^2-8x+ 6lnx+ m
h'(x)= 2x-8 +6/x= 2(x+3/x -4)
令h'(x)=0得二根：x=1，x=3，且0<x<1时h'(x)>0，1<=x<=3时h'(x)<=0，x>3时h'(x)>0
于是得到h(x)的单调性：
0<x<1单增，1<=x<=3单减，x>3单增，x=1时取得极大值，x=3时极小值
要使h(x)=0有三实根，只需：
h(1)>0，h(3)<0
代入即得
7<m<15-6ln3

Answer 3

答：

存在，7<m<15-6ln3

解：

依题意，欲使f(x)，g(x)有三交点，f(x)=g(x)必有三实根
令：-x^2+ 8*x= 6*lnx+ m
即：x^2-8x+ 6lnx+ m =0

不妨设h(x)=x^2-8x+ 6lnx+ m
考虑函数的单调性：
h'(x)= 2x-8 +6/x= 2(x+3/x -4)
令h'(x)=0得二根：x=1，x=3，且0<x<1时h'(x)>0，1<=x<=3时h'(x)<=0，x>3时h'(x)>0
于是得到h(x)的单调性：
0<x<1单增，1<=x<=3单减，x>3单增，x=1时取得极大值，x=3时极小值
要使h(x)=0有三实根，只需：
h(1)>0，h(3)<0

带入即得：m>7且m<15-6ln3
或：

7<m<15-6ln3

Answer 4

貌似楼上的是对的，我做错了