Question

若AB=BA,AC=CA,证明：A,B,C是同阶矩阵,A（B+C)=(B+C）A，A(BC)=(BC)A

Answer 1

解:
a(a+b+c)

≤(1/2)[a2+(a+b+c)2]
bc≤(1/2)(b2+c2)

a(a+b+c)+bc≤(1/2)[
a2+(a+b+c)2+

b2+c2]

(1/2)[
a2+(a+b+c)2+
b2+c2]=

a2+
b2+c2+ab+bc+ac
=

(2a+b+c)2-3(a2+ab+bc+ac)
a(a+b+c)+bc≤(2a+b+c)2-3(a2+ab+bc+ac)
4[

a(a+b+c)+bc]=4(4-2根号3)=4（根号3
-1）2≤(2a+b+c)2
2（√3

-1）≤2a+b+c
即2a+b+c的最小值是
2√3-2由于A和B能做乘法，所以A的列数=B的行数，否则矩阵乘法无法进行。
同样B和A也能做乘法，所以B的列数=A的行数。

设A是m*n矩阵，则B一定是n*m矩阵。
那么AB就是m*m矩阵，BA就是n*n矩阵。

由AB=BA可知m=n.
所以A和B是同阶方阵。

同理：A和C也是同阶方阵。

Answer 2

设A是m*n矩阵,B是p*q矩阵。
AB相乘——》n=p
BA相乘——》q=m
AB=BA——》n=p=m=q
A,B同阶方阵
同理，得
A,B,C是同阶方阵
AB+AC=BA+CA
结合律
A（B+C)=(B+C）
A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)=C(BA)=(CB)A=(BC)A

Answer 3

1. 左边=A(B+C)
=AB+AC
=BA+CA
=(B+C)A
=右边

2. 左边=A(BC)
=(AB)C
=(BA)C
=BAC
=B(AC)
=B(CA)
=BCA
=(BC)A
=右边

Answer 4

解:
∵a(a+b+c)
≤(1/2)[a2+(a+b+c)2]
bc≤(1/2)(b2+c2)
∴a(a+b+c)+bc≤(1/2)[
a2+(a+b+c)2+
b2+c2]
∵(1/2)[
a2+(a+b+c)2+
b2+c2]=
a2+
b2+c2+ab+bc+ac
=
(2a+b+c)2-3(a2+ab+bc+ac)
∴a(a+b+c)+bc≤(2a+b+c)2-3(a2+ab+bc+ac)
∴4[
a(a+b+c)+bc]=4(4-2根号3)=4（根号3
-1）2≤(2a+b+c)2
∴2（√3
-1）≤2a+b+c
即2a+b+c的最小值是
2√3-2