Question

立体几何题

已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，AA1=2,O1为B1D1和A1C1的交点，求1.设AB1与底面A1B1C1D1所成的角大小为a，求tana
2.异面直线BD与AB1所成的角大小，用反三角函数表示
3.四面体AB1D1C的体积
第一题不要

Answer 1

2.∵BD∥B'D'
∴BD与AB'所成的角就是∠AB'D'，设为β
连AO'
可证AO'⊥B'D'
AB'=√5 B'O'=√2/2
cosβ=√10/10
β=arccos(√10/10)
3.四面体AB'D'C的体积=正四棱柱的体积-4个三棱锥的体积
V三棱锥=(1/2)×2÷3=1/3
V四面体=2-1/3×4=2/3

Answer 2

2.BD∥B1D1，异面直线BD与AB1所成的角=B1D1与AB1所成的角=∠AB1D1
底面边长为1，勾股定理得B1D1=根号2， A1B1=1，AA1=2，得AB1=根号5=AD1
在△AB1D1中，cos∠AB1D1=（B1D1²+AB1²-AD1²）/（2AB1·B1D1）=B1D1²/（2AB1·B1D1）=（根号10）/10，所以∠AB1D1=arccos[（根号10）/10]
3.VAB1D1C=正四棱柱ABCD-A1B1C1D1-[(三棱锥A-A1D1B1)+(三棱锥C-C1D1B1)+(三棱锥D-ACD1)+(三棱锥B-ACB1)]=1x1x2-4x(1x1x2/6)=2-4/3=2/3