Question

关于高一数学增减函数

(1)证明：f(x)=x的立方+x+1是上R的单调增函数 (2)证明：y=x+x分之1在(0,1)是单调减函数

Answer 1

（1）求出导函数，证明其在实数范围内恒大于等于零即可
（2）同理，求出导函数，证明其在（0,1）内小于零即可

Answer 2

用定义证明函数增减性：
注：x^n表示x的n次方，比如x^2为x的平方
(1)设x1,x2 属于R，且x1<x2，
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3+x1-x2=(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2+1)
因为x1<x2，有x1-x2<0，x1^2+x1*x2+x2^2+1>0
因此f(x1)-f(x2)<0，所以f(x)=x^3+x+1是上R的单调增函数

(2)设x1,x2 属于(0,1)，且x1<x2，
f(x1)-f(x2)=x1-x2+1/x1-1/x2=(x1-x2)(x1*x2-1)/(x1*x2)
因为0<x1<x2<1，有x1-x2<0，x1*x2-1<0，x1*x2>0
因此f(x1)-f(x2)>0，所以f(x)=x+1/x在(0,1)是单调减函数

Answer 3

（1）f'(x)=3x^2+1>0，所以f(x)=x的立方+x+1是上R的单调增函数
(2)f'(x)=1-1/x^2,当0<x<1 时，1-1/x^2<0，所以y=x+x分之1在(0,1)是单调减函数