Question

已知x,y,z为正实数,求证:(x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)

已知x,y,z为正实数,
1、求证:(x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)
2、若x+y+z=1，求1/(1-x^2)+1/(1-y^2)+1/(1-z^2)的最小值

Answer 1

（1）(x+y+z)^2＝x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
因为x,y,z为正实数
所以x^2+y^2≥2xy，y^2+z^2≥2yz，x^2+z^2≥2xz
则2xy≤x^2+y^2，2yz≤y^2+z^2，2xz≤x^2+z^2
所以
(x+y+z)^2＝x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
≤x^2+y^2+z^2+（x^2+y^2）+（x^2+z^2）+（y^2+z^2）
＝3(x^2+y^2+z^2)
（2）当x=y=z=1/3时
1/(1-x^2)+1/(1-y^2)+1/(1-z^2)取得最小值27/8

Answer 2

第一题：要证(x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)
即证2(xy+yz+xz)<=2(x^2+y^2+z^2)
移项等价于(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
显然成立。
第二题，容易知1-x^2,1-y^2,1-z^2>0
由柯西得
(1-x^2+1-y^2+1-z^2)[1/(1-x^2)+1/(1-y^2)+1/(1-z^2)]>=(1+1+1)^2=9
所以1/(1-x^2)+1/(1-y^2)+1/(1-z^2)>=9/[3-(x^2+y^2+z^2)]
由第一题的结论有(x^2+y^2+z^2)>=(1/3)(x+y+z)^2=1/3
得1/(1-x^2)+1/(1-y^2)+1/(1-z^2)>=9/[3-1/3]=27/8