Question

已知数列an前n项和为Sn,且an=1/2*(3n+Sn),求数列an的通项公式

Answer 1

解：
an=1/2*(3n+Sn)，则a1=1/2*（3+a1），解得a1=3
2an=3n+Sn ①
2a（n-1）=3（n-1）+S（n-1）②
① - ②，2an-2a（n-1）=3+Sn-S（n-1）
=3+an
即 an-2a（n-1）=3
a2-2a1=3
a3-2a2=3
a4-2a3=3
……
an-2a（n-1）=3
把上列式子变一下
a2-2a1=3
1/2*（a3-2a2）=3*1/2
1/2^2*（a4-2a3）=3*1/2^2
……
1/2^（n-2）*［an-2a（n-1）］=3*1/2^（n-2）
【等式两边分别相加，左边中间各项正负抵消，只剩a1和an项；右边是公比为1/2的等比数列的和】
1/2^（n-2）*an - 2a1=3*［1-（1/2）^（n-1）］/（1-1/2）
=6-3*2^（2-n）
2^（2-n）*an=2a1+6-3*2^（2-n）
=2*3+6-3*2^（2-n）
=12-3*2^（2-n）
an=［12-3*2^（2-n）］/2^（2-n）
=12/2^（2-n）-3
=3*（2^n - 1）