Question

如图，P1是反比例函数y=k/x(k>0)在第一象限图像上的一点，点A1的坐标为（2，0）.

（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA的面积将如何变化。
（2）若△P1OA与△P2AA2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标。

Answer 1

(1) 因P1是反比例函数y=k/x(k>0)在第一象限图像上的一点
可设P1(x1, k/x1)
则S△P1OA=(1/2)IOA1I*Ik/x1I=(1/2)*2*k/x1=k/x1
所以当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA的面积将逐渐减小。
(2) 若△P1OA为等边三角形
则x1=OA/2=1
k/x1=√3
所以k=√3
故反比例函数的解析式为y=√3/x
设P2(x2, √3/x2)
√3/x2=P2A1*sin60°=A1A2*(√3/2)
所以A1A2=2/x2
因x2=OA1+(1/2)A1A2=2+1/x2
解得x2=1+√2
所以OA2=OA1+A1A2=2+2/(1+√2)=2√2
故A2点的坐标(2√2, 0)

Answer 2

（1）逐渐变小
（2）∵A1（2，0） 等边三角形
∴P1（1，根号3）
然后把P1代入y=k/x 算出K

Answer 3

解：（1）设P1（x，y），则△P1OA1的面积=12×0A1×y=y．
又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
故当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将逐渐减小．

（2）作P1C⊥OA1，垂足为C，
因为△P1OA1为等边三角形，
所以OC=1，P1C=3，
所以P1（1，3）．
代入y=kx，得k=3，
所以反比例函数的解析式为y=3x．
作P2D⊥A1A2，垂足为D．
设A1D=a，
则OD=2+a，P2D=3a，
所以P2（2+a，3a）．
∵P2（2+a，3a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=3x，得（2+a）•3a=3，
化简得a2+2a-1=0
解得：a=-1±2．
∵a＞0，
∴a=-1+2．∴A1A2=-2+22，
∴OA2=OA1+A1A2=22，
所以点A2的坐标为（22，0）．