Question

函数f(x)=lg(x^2-2x+k)的值域为R,则实数k的取值范围

1）函数f(x)=lg(x^2-2x+k)的定义域为R,则实数k的取值范围
这题是x^2-2x+k>0恒成立
2）函数f(x)=lg(x^2-2x+k)的值域为R,则实数k的取值范围
lgx值域为R，定义域不是（0，+无穷）吗
那x^2-2x+k不就要大于0吗？
这两题不就一样了吗？
哪里错了呢？

Answer 1

解：对于第1题，是要使不论x取何值，x^2-2x+k>0都恒成立，那就需要使Δ<0，但是这样的代价就是舍弃了一部分值域，使得有些值不论x取何值，函数f(x)都无法达到，
而对于第2题，则恰好完全相反，要使得函数f(x)取得R上的全部值，同时又使得x^2-2x+k>0成立，那有些x值就无法取到了，但是剩余的x值就可以让函数值取遍R里的所有值，所以这时，反而要求Δ≥0，使得x^2-2x+k的值把大于0的值都取到。

所以说这两道题非但不一样，反而完全相反。

Answer 2

分析下：(1)定义域R，则说明对于任何x∈R都能使lg(x²-2x+k)有意义
也就是x²-2x+k>0在x∈R时恒成立【否则就存在x使得f(x)无意义，这与定义域的含义相矛盾】
(2)值域为R，说明x²-2x+k能【取遍】所有(0,+∞)的值
x²-2x+k=(x-1)²+k-1≥k-1 要取遍正数，那么k-1≤0

Answer 3

那x^2-2x+k不就要大于0吗？